Argomento: Centro di gravità di un corpo e condizioni di equilibrio

Condizione generale di equilibrio: sotto l’azione di un numero di forze qualsiasi, un corpo rigido è in equilibrio se sono nulli separatamente sia la risultante di tutte le forze, che il momento della coppia risultante e

Se il momento della forza rispetto ad un punto fisso O è diverso da zero, la forza fa ruotare il corpo fino a portarlo in una posizione tale che il suo momento rispetto ad O sia nullo.

Un corpo esteso può essere pensato come l’insieme di un grandissimo numero di particelle, così piccole da poter essere assimilate a punti materiali, ognuna delle quali ha un peso.

L’insieme di queste forze-peso costituisce un sistema di forze parallele e concordi che equivalgono a un’unica risultante che è il peso del corpo; questa risultante è una forza, anch’essa diretta verticalmente verso il basso, la cui intensità è pari alla somma delle intensità di tutte quelle componenti. Il suo punto di applicazione ha un nome particolare: esso si chiama centro di gravità (o centro di massa o baricentro) del corpo.

Sotto l’azione dei pesetti delle innumerevoli particelle di cui il corpo può pensarsi costituito, questo si muove, dunque, come se ad esso fosse applicata, nel suo centro di massa, un’unica forza; cioè, come se il peso, che è in realtà distribuito in tutto il corpo, fosse applicato soltanto al centro di gravità.

Quando si appoggia su un tavolo un oggetto, per garantire una forma di equilibrio non “precaria” lo si posa sempre in modo che poggi sulla faccia più ampia. Così facendo si realizzano le due condizioni essenziali per l’equilibrio “stabile” di un corpo:

Infatti

la condizione perché un corpo, che appoggi su un piano, sia in equilibrio è che la verticale che passa per il suo baricentro cada nell’interno della base di appoggio.

Finchè questa condizione sarà soddisfatta per la Torre di Pisa, essa penderà ma non crollerà; e lo stesso si può dire per un ragazzo che si spinge indietro su una sedia o per un masso in bilico su una parete rocciosa.

Si osserva, infatti, che l’azione delle forze agenti su di un corpo appoggiato sono la forza peso che tende a portare il baricentro verso il basso, e la reazione vincolare dell’appoggio .

Il corpo è in equilibrio finchè queste due forze sono uguali e contrarie, cioè finchè hanno la stessa intensità, la stessa direzione e il verso contrario e ciò può avvenire soltanto quando la direzione di passa all’interno della base d’appoggio del corpo. Infatti se passasse all’esterno, e darebbero luogo a una coppia di forze, che farebbe ruotare il corpo.

È quindi evidente che quanto più ampia è la base d’appoggio, tanto più è probabile che la verticale passante per il baricentro non esca fuori dalla base. Lo stesso avviene quando il baricentro si trova nella posizione più bassa possibile. In tal caso, una eventuale alterazione dello stato di equilibrio del corpo non può far altro, dopo aver provocato alcune oscillazioni, che far tornare il corpo nel suo stato iniziale.

L’individuazione del baricentro è immediata nel caso di corpi omogenei e provvisti di un centro di simmetria. Nel caso di questi corpi il baricentro coincide con il centro di simmetria.

Ad esempio il baricentro di una sfera omogenea è il centro della sfera, quello di una lastra sottile a forma triangolare omogenea è il punto di incontro delle tre mediane, e così via.

Nel caso, invece, in cui il corpo non abbia questi requisiti, si può procedere alla determinazione del baricentro nel modo seguente:
Se si sospende il corpo per un punto A qualsiasi, il suo centro di massa, quando esso resta sospeso e fermo in equilibrio, si trova certamente sulla verticale r passante per il punto A: infatti il corpo è in equilibrio quando il suo peso è esattamente equilibrato dalla forza vincolare. Alla stessa maniera, sospendendo il corpo per un altro suo punto, A’, il centro di gravità (che non muta al ruotare del corpo) si trova sulla verticale r’ passante per A’. Il baricentro, quindi, dovendo trovarsi su r ed r’, sarà il loro punto di intersezione.

Si nota, quindi, che non sempre il baricentro è un punto del corpo: per esempio dove si trova il baricentro di una lattina di aranciata vuota? Oppure il baricentro di un anello?

Adottando il metodo precedente si trova che non è un punto che appartiene al corpo.

Nel 1664 Torricelli scriveva: “…un grave non si mette certamente in movimento spontaneamente se non quando il suo centro di gravità può discendere: se ciò non gli è consentito dai vincoli impostogli, si mantiene in equilibrio”.
Con queste parole Torricelli, che fece fare alla teoria della stabilità dell’equilibrio il più decisivo progresso, esprime la condizione generale per l’equilibrio di un corpo pesante vincolato.

Un corpo si dice vincolato quando la presenza di altri corpi non ne permette lo spostamento in qualche direzione.

Un corpo sospeso a un punto, o girevole intorno a una retta(asse di rotazione) o appoggiato sopra una superficie, è un esempio di corpo vincolato.

Se il corpo è vincolato in un punto S (sospeso o appoggiato), il baricentro G non può discendere solo se G ed S si trovano sulla stessa verticale: solo così il corpo è in equilibrio.

Ma la condizione “punto fisso e baricentro sulla stessa verticale” può verificarsi in tre modi diversi:

Si osserva che nell’equilibrio indifferente uno spostamento non alza e non abbassa il baricentro; nell’equilibrio stabile lo innalza; nell’equilibrio instabile lo abbassa: si vede ancora una volta che il centro di massa tende a occupare la posizione più bassa possibile.

A volte si può assistere a fenomeni che lasciano interdetti perché sembrano contraddire le leggi della natura. Ad esempio il paradosso meccanico del doppio cono.
Si tratta di un esperimento molto semplice: occorrono due guide di legno, alte 4cm ad un’estremità 7cm all’altra, collegate all’estremità più bassa da una cerniera, cosicché l’angolo da esse formato sia variabile; un cilindro e un doppio cono anch’essi di legno.
Disponendo il cilindro all’estremità più alta delle guide, si osserva che esso rotola verso quella più bassa; così facendo il suo baricentro si dispone più in basso possibile, compatibilmente con i vincoli.
Sostituendo, però, il cilindro col doppio cono, esso rotola dall’estremità più bassa a quella più alta.
Può inizialmente sembrare che il doppio cono nasconda qualche trucco; in realtà nulla avviene contro natura. Infatti basta misurare con un regolo la distanza tra il baricentro del doppio cono e il piano d’appoggio, e verificare che, a fine corsa, tale distanza è effettivamente più piccola che all’inizio. Il doppio cono si è infatti avvicinato al suolo e il suo baricentro si è abbassato.
Questo perchè le due guide non sono parallele, ma divaricate, per cui il doppio cono, nel suo movimento, appoggia sulle guide le parti più sottili, e quindi si abbassa, a mano a mano che rotola.


Infine si può esaminare il caso di un corpo rigido vincolato.
Precisamente si può considerare un corpo rigido che possa ruotare attorno ad un asse fisso S.
Se al corpo, girevole intorno ad S, è applicata una forza, si ha l’equilibrio se la sua linea di azione incontra l’asse in un punto o se è parallela a tale asse; cioè quando la forza e l’asse sono complanari.


Nel caso, invece, in cui le forze applicate al corpo sono più di una, giacenti tutte in piani perpendicolari all’asse, si dimostra che la condizione perché esse si facciano equilibrio è che la somma algebrica dei loro momenti rispetto all’asse sia nulla.


Nel caso in cui l’unica forza attiva agente sul corpo sia il suo peso, la condizione di equilibrio è che l’asse e la verticale passante per il baricentro giacciano in uno stesso piano: cioè o quando l’asse di rotazione è verticale(si pensi ad una porta i cui cardini sono su una retta verticale) o quando il baricentro si trova nel piano verticale che passa per l’asse. In tal caso l’equilibrio sarà stabile, instabile o indifferente a seconda che il baricentro si trovi, rispettivamente, al di sotto o al di sopra dell’asse o appartiene a esso.